Il piano cartesiano: i quadranti, gli assi e le loro equazioni - Nicolò Vignatavan

Il piano cartesiano: i quadranti, gli assi ed un nuovo procedimento per ricavare le loro equazioni


prof. Nicolò Vignatavan


-> Video

Il piano cartesiano, il cui nome trae la sua origine dal matematico e filosofo Cartesio, è quel sistema di riferimento, che divide lo spazio bidimensionale in 4 quadranti, definiti in numeri romani, ordinati in senso antiorario, a partire dal primo in alto a destra, rispetto all’origine degli assi, ovvero il punto di intersezione delle due rette munite di verso rappresentanti le coordinate delle ordinate quella verticale e delle ascisse quella orizzontale.

In realtà, l’infinito spazio in cui viviamo, può essere descritto da, appunto, infinite dimensioni, e, di conseguenza, da infiniti assi di coordinate di riferimento, ma, qui, noi analizziamo, il piano cartesiano classico, definito dai due assi cartesiani fondamentali, l’asse delle ascisse x, orizzontale e l’asse delle ordinate y, verticale.

Ognuno dei due assi che tagliano il piano bidimensionale, intesi come retta, dunque come insieme infinito di punti che si susseguono in maniera

ordinata, per cui ogni punto segue il precedente e precede il seguente lungo una ed una sola direzione, munita di verso e sprovvista di modulo, (non misurabile poichè infinita), si sviluppa a partire dal valore “meno infinito”, intersecando l’altro asse nel punto di origine degli assi, in cui le coordinate cartesiane risultano rispettivamente (0;0), per poi muoversi, sempre in maniera rettilinea, verso “più infinito”.

I valori di infinito vengono rappresentati come un 8 rovesciato orizzontalmente.

I due assi sono perpendicolari tra di loro, perciò attraverso la loro intersezione si sviluppano angoli retti di 90 gradi l’uno, che a loro volta generano i cosidetti 4 quadranti.

Il punto di intersezione dei due assi cartesiani, detto origine degli assi e di coordinate (0;0) è l’unico punto del piano cartesiano che appartiene ad una coordinata del contorno di tutti e 4 i quadranti contemporaneamente e corrisponde al punto di loro sorgente.

Gli assi cartesiani x ed y, identificati geometricamente da rette, sono le uniche due rette che tagliano metà del contorno finito di tutti e 4 i quadranti contemporaneamente.

I quadranti in cui due assi dividono il piano cartesiano sono anch’essi infiniti, ma deliminati da due dei loro ipotetici infiniti lati, corrispondenti alla metà infinita dei due assi cartesiani di riferimento: il primo quadrante è delimitato sia dall’asse x che dall’asse y da 0 a “più infinito”, il secondo quadrante è delimitato dall’asse x da 0 a “meno infinito” e dall’asse y da o a “più infinito”, il terzo quadrante sia dall’asse x che dall’asse y da 0 a “meno infinito” ed, infine, il quarto quadrante dall’asse x da 0 a “più infinito” e dall’asse y da 0 a “meno infinito”.

Tanto più ci avviciniamo all’origine degli assi, tanto più convergiamo verso il centro del piano cartesiano, tanto più ci avviciniamo a valori finiti, puntuali e misurabili.

Tanto più, invece, ci allontaniamo dall’origine degli assi, tanto più divergiamo dal centro del piano cartesiano, tanto più ci avviciniamo a valori infiniti e non misurabili numericamente.

Se, come abbiamo detto, gli assi del piano cartesiano, sono identificati, come figure geometriche, da rette, essi avranno un’equazione di riferimento che si potrà ricavare dall’equazione esplicita della retta.

L’equazione esplicita della retta risulta y = mx + q,  in cui "m" è il valore numerico che identifica il coefficiente angolare di tale retta e, dunque, determina la sua inclinazione rispetto all'asse delle ascisse od ad una retta orizzontale parallela all’asse delle ascisse, mentre “q” indica la distanza tra l’origine degli assi ed il punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate.

Il coefficiente angolare "m" della retta si ricava dalla formula (y2 - y1) / (x2 - x1), dove x2 e y2 sono rispettivamente le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata di un punto superiore preso a campione sulla retta ed x1 e y1 sono rispettivamente le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata di un punto inferiore preso a campione sulla stessa.

Il termine noto “q” indica, per la coordinata dell’ordinata, il punto di intersezione della retta con l’asse y.

Se q è uguale a zero, la retta taglia l’asse delle ordinate nell’origine degli assi.

Se q è maggiore di zero, la retta taglia l’asse delle ordinate in un suo punto positivo.

Se q è minore di zero, la retta taglia l’asse delle ordinate in un suo punto negativo.

Se q tende a zero, la retta, infinitesimamente, taglierà l’asse delle ordinate nell’intorno di zero, ovvero in 0+ o 0-, a seconda che l’area di convergenza della retta verso il punto 0 sia o a partire dai valori di y positivi o da quelli negativi.

Se m è uguale a zero, con q diverso da zero, la retta, non possedendo alcuna inclinazione, sarà una retta orizzontale parallela all’asse delle ascisse, ma non coincidente con essa, e dunque passerà solo per due quadranti del piano cartesiano, i due quadranti di ordinata positiva, se q è maggiore di zero, ed i due quadranti di ordinata negativa, se q è minore di zero.

Se m è maggiore di zero, la retta risulterà una retta crescente.

Se m è minore di zero, la retta risulterà una retta decrescente.

Se m è uguale a +1, con q = 0, la retta risulterà una retta crescente, bisettrice del primo e del terzo quadrante del piano cartesiano e dunque passerà solo per due quadranti.

Se m è uguale a -1, con q = 0, la retta risulterà una retta decrescente, bisettrice del secondo e del quarto quadrante del piano cartesiano e dunque anch’essa passerà solo per due quadranti.

Se m è maggiore di 1, la retta sarà crescente ed intersecherà l’asse delle ascisse, generando un angolo maggiore di 45 gradi.

Se m è compreso tra +1 e -1, la retta genererà un angolo compreso tra +45 gradi e -45 gradi; se m è minore di -1, un angolo <45° e sarà decrescente.

Se m tende a 0, la retta tenderà a risultare orizzontale, ovvero ad essere parallela all’asse delle ascisse.

In quest’ottica, considerando l’asse delle x come una retta perfettamente orizzontale, ovvero con un’inclinazione rispetto a se stesso nulla e, dunque, con coefficiente angolare che risulta uguale a zero, allora il valore di m nella sua equazione esplicita varrà 0.

Allo stesso tempo, il suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate risulterà zero, poichè, per definizione, l’intersezione dell’asse x con l’asse y, avviene nel punto di coordinate (0;0).

Di conseguenza, l’equazione dell’asse cartesiano delle ascisse, l’asse x, risulterà y = 0x + 0, dunque, y = 0.

Per ricavare, invece, l’equazione esplicita della retta facente riferimento all’asse delle y, prima dobbiamo analizzare il significato geometrico del coefficiente angolare “m”.

Geometricamente, "m" risulta come quel valore numerico indicante la misura del cateto verticale del triangolo rettangolo costruito in verso "x" a partire dal punto "q" di intersezione della retta con l'asse y, che ha come cateto orizzontale il segmento di lunghezza "1 unità" e come ipotenusa il tratto di retta che ha come primo estremo il punto "q" e come secondo estremo l'intersezione della retta con il cateto verticale.

Considerando come primo punto "q" e come secondo, se m>0, l'estremo di ordinata maggiore del cateto verticale e, se m<0, l'estremo di ordinata minore dello stesso cateto verticale, si è subito in grado di tracciare la retta passante per tali due punti.

Oltre a ciò, avendo, a priori, a disposizione unicamente il grafico della retta sul piano cartesiano, senza averne l'equazione specifica, per ricavare il valore di "m", non occorrono 4 coordinate di due punti presi a campione sulla retta medesima, come nella definizione classica di coefficiente angolare, bensì solamente una lunghezza (quella del cateto verticale rappresentante "m").

Inteso "alfa" come l'angolo generato dall'intersezione della retta con l'asse delle ascisse, nel caso di a>45°, il triangolo rettangolo sarà scaleno ed avrà il cateto orizzontale minore e il cateto verticale maggiore e, al contrario, nel caso di a<45°, il triangolo rettangolo sarà scaleno ed avrà il cateto orizzontale maggiore e il cateto verticale minore.
Nel caso di a=45°, con m=1 la retta sarà bisettrice del primo e del terzo quadrante del piano cartesiano e con m=-1 sarà bisettrice del secondo e del quarto quadrante: in entrambi i casi il triangolo formatosi sarà un triangolo rettangolo isoscele con cateti congruenti.

Detto ciò, ora, per ricavare l’equazione esplicita dell’asse y, dobbiamo ricavare, geometricamente, il suo valore del coefficiente angolare “m” ed il suo valore del termine noto “q”.

Per quanto riguarda “q”, se, come abbiamo detto, esso corrisponde, per le ordinate, al punto d’intersezione della retta con l’asse y, se la retta analizzata è l’asse y, esso con se stesso non ha punti di intersezione, bensì con se stesso coincide, dunque, considerando l’asse y come una retta costituita da un insieme infinito di punti, esso con se stesso coinciderà in infiniti punti, di conseguenza, il valore di ”q” nella sua equazione esplicita non sarà un numero misurabile e puntuale, ma varrà “infinito”.

Ora analizziamo il coefficiente “m” dell’equazione esplicita:

Se "m" risulta il valore numerico indicante la misura del cateto verticale del triangolo rettangolo particolare analizzato in precedenza e se il cateto orizzontale di tale triangolo risulta il segmento di lunghezza "1 unità", allora:

se la retta risulta orizzontale, allora m sarà uguale a 0, il cateto verticale non esisterà più e l’ipotenusa del triangolo si ribalterà sul cateto orizzontale, coincidendo con esso.

se, invece, la retta risultasse verticale, (caso che noi vogliamo analizzare ora per studiare il valore di “m” nell’equazione dell’asse cartesiano y) il cateto verticale del triangolo a quale misura si avvicinerebbe?

Tanto più una retta generica aumenterà la sua inclinazione e, di conseguenza, si avvicinerà all’asse delle y, tanto più, come abbiamo visto in precedenza, il suo coefficiente angolare avrà un valore sempre maggiore e, dunque, nel caso dell’asse y, ovvero di una retta verticale, che risulta, per definizione, una retta con pendenza massima, il coefficiente angolare “m” avrà il valore più grande che si possa ipotizzare, perciò risulterà infinito.

Ma il coefficiente angolare m uguale ad infinito può dare prova di una retta perfettamente verticale, dunque dell’asse y, oppure no?

Se la massima inclinazione di una retta è data dal rapporto tra il valore infinito del cateto verticale del triangolo ed il valore 1 del cateto orizzontale, sebbene il numeratore (+oo se si tratta di una retta crescente, o meno infinito, se si tratta di una retta decrescente) sia un valore infinito, per cui la sua inclinazione per forza di cose, essendo massima rispetto all’asse x, genererà una retta verticale, ci sarà comunque un infinitesimo spostamento di partenza rispetto all’asse y, una minima traslazione lineare determinata dal denominatore 1, in termini geometrici uno spostamento unitario che non permetterà la coincidenza perfetta dell’equazione esplicita con m uguale ad infinito con l’asse y.

Tale retta, di equazione y = oox + oo, se m è uguale a +infinito, sarà ruotata di un infinitesimo in senso orario rispetto all’asse y, e se m è uguale a –infinito, sarà ruotata di un infinitesimo in senso antiorario rispetto all’asse y.

Ma allora qual è la soluzione per scrivere nel modo ipiù appropriato possibile l’equazione dell’asse y?

La modalità classica per definire l’equazione dell’asse delle ordinate risulta quella di ruotare di un angolo retto l’equazione geometrica dell’asse delle ascisse, invertendone l’incognita, dunque la coordinata.

Se l’equazione dell’asse delle ascisse risulta, come abbiamo dimostrato in precedenza, y = 0, poichè non possiede alcuna inclinazione rispetto a se stessa o a qualsiasi parallela a se stessa, l’equazione dell’asse delle ordinate risulterà, ruotando il piano cartesiano di 90 gradi, x = 0.

L’equazione x = 0 dà prova del fatto che la retta rappresentata, ovvero l’asse y, non ha alcuna inclinazione rispetto a se stesso o a qualsiasi parallela a se stesso, e che interseca l’asse x nel punto di ascissa 0, dunque, essendo una retta verticale, precisamente nel punto di origine del piano cartesiano.

Concludendo, l’equazione dell’asse delle ascisse risulta y = 0, che rappresenta la retta orizzontale passante per il punto di origine degli assi cartesiani, di inclinazione nulla rispetto a se stesso e di valore 0 in ordinata;

mentre l’equazione dell’asse delle ordinate risulta x = 0, che rappresenta la retta verticale passante per il punto di origine degli assi cartesiani, di inclinazione nulla rispetto a se stesso e di valore 0 in ascissa.